Question

8．已知集合A={x|x²-ax+1=0}，其中a为常数，且a∈R．
（1）若A是空集，求a的范围；
（2）若A中只有一个元素，求a的值；
（3）若A中至多只有一个元素，求a的范围．

Answer 1

分析 （1）由△＜0，解得a范围．此时A=∅．
（2）△=0，解得a范围．此时A只含有一个元素．
（3）由于A中至多只有一个元素，可得A=∅或只含有一个元素．利用（1）（2）即可得出．

解答 解：（1）△=a²-4＜0，解得-2＜a＜2．此时A=∅．
∴a的范围是（-2，2）；
（2）△=0，解得a=±2．
此时A={1}，或{-1}．
∴a=±2．
（3）由于A中至多只有一个元素，∴A=∅或只含有一个元素．
由（1）（2）可知：-2≤a≤2．
∴a的范围是[-2，2]．

点评 本题考查了集合的运算及其性质、一元二次方程的解与判别式的关系，考查了分类讨论方法、推理能力，属于中档题．