Question

【题目】在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C：ρsin2θ=2acosθ（a＞0），l： （t为参数）
（1）求曲线C的普通方程，l的直角坐标方程
（2）设l与C交于M，N两点，点P（﹣2，0），若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求实数a的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵曲线C：ρsin2θ=2acosθ（a＞0），∴ρ2sin2θ=2aρcosθ，（a＞0），

∴曲线C的普通方程为y2=2ax，（a＞0）；

∵l的参数方程为： （t为参数），

∴消去参数得l的直角坐标方程为：x﹣y+2=0

（2）解：将l的参数方程： （t为参数）代入y2=2ax，（a＞0），

得： ，

△=8a2﹣32a＞0，解得a＞4，

，t1t2=8a，

∵|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，

∴|t1﹣t2|2=|t1t2|，∴（2 ）2﹣4×8a=8a，

解得a=5

【解析】（1）曲线C转化为ρ2sin2θ=2aρcosθ，（a＞0），由此能求出曲线C的普通方程；l的参数方程消去参数能求出l的直角坐标方程．（2）将l的参数方程代入曲线C的普通方程，得： ，由根的差别式得a＞4，由韦达定理得 ，t1t2=8a，由此利用|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，能求出a．