Question

【题目】已知函数f（x）= （e为自然对数的底数）．
（1）当a=b=0时，直接写出f（x）的值域（不要求写出求解过程）；
（2）若a= ，求函数f（x）的单调区间；
（3）若f（1）=1，且方程f（x）=1在（0，1）内有解，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：a=b=0时，f（x）=e﹣x，f（x）的值域是（0，+∞）
（2）解：若a= ，f（x）=（x2+bx+1）e﹣x，

则f′（x）=（2x+b）e﹣x﹣（x2+bx+1）e﹣x=﹣[x2+（b﹣2）x+1﹣b]e﹣x=﹣（x﹣1）[x﹣（1﹣b）]e﹣x，

由f′（x）=0得﹣（x﹣1）[x﹣（1﹣b）]=0，即x=1或x=1﹣b，

①若1﹣b=1，即b=0时，f′（x）=﹣（x﹣1）2e﹣x≤0，此时函数单调递减，单调递减区间为（﹣∞，+∞）．

②若1﹣b＞1，即b＜0时，由f′（x）=﹣（x﹣1）[x﹣（1﹣b）]e﹣x＞0得（x﹣1）[x﹣（1﹣b）]＜0，即1＜x＜1﹣b，

此时函数单调递增，单调递增区间为（1，1﹣b），

由f′（x）=﹣（x﹣1）[x﹣（1﹣b）]e﹣x＜0得（x﹣1）[x﹣（1﹣b）]＞0，即x＜1，或x＞1﹣b，

此时函数单调递减，单调递减区间为（﹣∞，1），（1﹣b，+∞），

③若1﹣b＜1，即b＞0时，由f′（x）=﹣（x﹣1）[x﹣（1﹣b）]e﹣x＞0得（x﹣1）[x﹣（1﹣b）]＜0，即1﹣b＜x＜1，

此时函数单调递增，单调递增区间为（1﹣b，1），

由f′（x）=﹣（x﹣1）[x﹣（1﹣b）]e﹣x＜0得（x﹣1）[x﹣（1﹣b）]＞0，即x＜1﹣b，或x＞1，

此时函数单调递减，单调递减区间为（﹣∞，1﹣b），（1，+∞）

（3）解：若f（1）=1，则f（1）=（2a+b+1）e﹣1=1，

即2a+b+1=e，则b=e﹣1﹣2a，

若方程f（x）=1在（0，1）内有解，

即方程f（x）=（2ax2+bx+1）e﹣x=1在（0，1）内有解，

即2ax2+bx+1=ex在（0，1）内有解，

即ex﹣2ax2﹣bx﹣1=0，

设g（x）=ex﹣2ax2﹣bx﹣1，

则g（x）在（0，1）内有零点，

设x0是g（x）在（0，1）内的一个零点，

则g（0）=0，g（1）=0，知函数g（x）在（0，x0）和（x0，1）上不可能单调递增，也不可能单调递减，

设h（x）=g′（x），

则h（x）在（0，x0）和（x0，1）上存在零点，

即h（x）在（0，1）上至少有两个零点，

g′（x）=ex﹣4ax﹣b，h′（x）=ex﹣4a，

当a≤ 时，h′（x）＞0，h（x）在（0，1）上递增，h（x）不可能有两个及以上零点，

当a≥ 时，h′（x）＜0，h（x）在（0，1）上递减，h（x）不可能有两个及以上零点，

当 ＜a＜ 时，令h′（x）=0，得x=ln（4a）∈（0，1），

则h（x）在（0，ln（4a））上递减，在（ln（4a），1）上递增，h（x）在（0，1）上存在最小值h（ln（4a））．

若h（x）有两个零点，则有h（ln（4a））＜0，h（0）＞0，h（1）＞0，

h（ln（4a））=4a﹣4aln（4a）﹣b=6a﹣4aln（4a）+1﹣e， ＜a＜ ，

设φ（x）= x﹣xlnx+1﹣x，（1＜x＜e），

则φ′（x）= ﹣lnx，

令φ′（x）= ﹣lnx=0，得x= ，

当1＜x＜ 时，φ′（x）＞0，此时函数φ（x）递增，

当 ＜x＜e时，φ′（x）＜0，此时函数φ（x）递减，

则φ（x）max=φ（ ）= +1﹣e＜0，

则h（ln（4a））＜0恒成立，

由h（0）=1﹣b=2a﹣e+2＞0，h（1）=e﹣4a﹣b＞0，

得 ＜a＜ ，

当 ＜a＜ 时，设h（x）的两个零点为x1，x2，则g（x）在（0，x1）递增，

在（x1，x2）上递减，在（x2，1）递增，

则g（x1）＞g（0）=0，

g（x2）＜g（1）=0，

则g（x）在（x1，x2）内有零点，

综上，实数a的取值范围是（ ， ）

【解析】（1）求出f（x）的导数，根据指数函数的性质求出函数的值域即可；（2）由a的值，求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系即可求函数f（x）的单调区间；（3）根据函数与方程之间的关系转化为函数存在零点问题，构造函数，求函数的导数，利用函数极值和函数零点之间的关系进行转化求解即可．
【考点精析】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性的相关知识点，需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减才能正确解答此题．