Question

已知数列{a_n}满足：a_n+1+a_n=4n-3（n∈N^*）
（1）若a₁=2，求数列{a_n}的前20项和S₂₀；
（2）若对任意的n∈N^*都有

an+12+an2

an+1+an

≥3成立，求a₁的取值范围；
（3）若数列{a_3n-2}（n∈N^*）为等差数列，求证：数列{a_n}为等差数列．

Answer 1

分析：（1）S₂₀=（a₁+a₂）+（a₃+a₄）+…+（a₁₉+a₂₀）分组后，利用a_n+1+a_n=4n-3，求出每个括号的值，进行求和
（2））利用an+12+an2≥

(an+1+an)2

2

，化

an+12+an2

an+1+an

≥3为

an+12+an2

an+1+an

≥

an+1+an

2

=

4n-3

2

，n≥3时

4n-3

2

≥3，.

an+12+an2

an+1+an

≥3恒成立，所以只要再n=1，2时，

an+12+an2

an+1+an

≥3成立即可．
（3）a_n+1+a_n=4n-3（n∈N^*），∴a_n+2+a_n+1=4n+1，两式相减得出a_n+2-a_n=4．继而a_2k+1-a_2k-1=4．所以a_2k-1=a₁+（k-1）×4．①又由已知，a_2k+a_2k-1=4×（2k-1）-3，∴a_2k=4k-3-a₁②因为数列{a_3n-2}（n∈N^*）为等差数列，所以a_3n-2=a₁+（n-1）d③．利用特殊项，可以求得a_2k-1=-

1

2

+（k-1）×4=4k-

9

2

．a_2k=4k-

5

2

，即当n=2k-1时，a_n=2n-

5

2

，当n=2k-1时，a_n=2n-

5

2

，综上所述，a_n=2n-

5

2

，a_n+1-a_n=2，数列{a_n}为等差数列．

解答：解：a_n+1+a_n=4n-3（n∈N^*）
S₂₀=（a₁+a₂）+（a₃+a₄）+…+（a₁₉+a₂₀）
=（4×1-3）+（4×3-3）+…+（4×19-3）
=4×（1+3+…+19）-3×10
=4×

(1+19)×10

2

-30
=370
（2）∵an+12+an2≥

(an+1+an)2

2

又∵a_n+1+a_n=4n-3（n∈N^*），
∴

an+12+an2

an+1+an

≥

an+1+an

2

=

4n-3

2

，
n≥3时

4n-3

2

≥3，.

an+12+an2

an+1+an

≥3恒成立，
所以只要再n=1，2时，

an+12+an2

an+1+an

≥3成立即可．
a₁+a₂=1，a₃+a₄=5，所以只要

a 2 1 +(1-a1)2≥3 (1-a1)2+(a1+4)2≥15

解得a1≥

1+ 5

2

或a≤

-3- 5

2

（3）∵a_n+1+a_n=4n-3（n∈N^*），∴a_n+2+a_n+1=4n+1，
两式相减得出a_n+2-a_n=4．继而a_2k+1-a_2k-1=4．所以a_2k-1=a₁+（k-1）×4．①
又由已知，a_2k+a_2k-1=4×（2k-1）-3，∴a_2k=4k-3-a₁②
因为数列{a_3n-2}（n∈N^*）为等差数列，所以a_3n-2=a₁+（n-1）d③
在③中分别取n=2，3得到a₄=a₁+d，④a₇=a₁+2d，⑤
在②中取k=2，得a₄=5-a₁，⑥
在①中取k=4，a₇=a₁+12，⑦
由⑤⑦得d=6，带入④⑥得a₁=-

1

2

，
代入①②分别得a_2k-1=-

1

2

+（k-1）×4=4k-

9

2

．a_2k=4k-

5

2

，即当n=2k-1时，a_n=2n-

5

2

，当n=2k-1时，a_n=2n-

5

2

，综上所述，a_n=2n-

5

2

，a_n+1-a_n=2，数列{a_n}为等差数列．

点评：本题考查数列求和运算，不等式恒成立，数列性质的判定，通项公式求解，分类讨论、构造的思想方法．思维灵活性大，逻辑关系较复杂．