本题共有3个小题.第1小题满分4分.第2小题满分6分. 第3小题满分8分.(文)对于数列.从中选取若干项.不改变它们在原来数列中的先后次序.得到的数列称为是原来数列的一个子数列. 某同学在学习了这一个概念之后.打算研究首项为,公差为的无穷等差数列的子数列问题.为此.他取了其中第一项.第三项和第五项.(1) 若成等比数列,求的值,(2) 在, 的无穷等差数列中.是� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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(本题满分18分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分. 第3小题满分8分.
（文）对于数列

，从中选取若干项，不改变它们在原来数列中的先后次序，得到的数列称为是原来数列的一个子数列. 某同学在学习了这一个概念之后，打算研究首项为

,公差为

的无穷等差数列

的子数列问题，为此，他取了其中第一项

，第三项

和第五项

.
(1) 若

成等比数列,求

的值；
(2) 在

的无穷等差数列

中，是否存在无穷子数列

，使得数列

为等比数列？若存在，请给出数列

的通项公式并证明；若不存在，说明理由；
(3) 他在研究过程中猜想了一个命题：“对于首项为正整数

，公比为正整数

(

)的无穷等比数列

,总可以找到一个子数列

,使得

构成等差数列”. 于是，他在数列

中任取三项

，由

与

的大小关系去判断该命题是否正确. 他将得到什么结论？

（1）d=0（2）存在b_n=4^n-1为符合条件的一个子数列，因为b_n="1+3M" ="1+3" [(M+1)-1]是{a_n}中的第M+1项（3）通过计算可以得到

，从而原命题为假命题

试题分析：(1)由a₃²=a₁a₅，                                               ……2分
即(a₁+2d)²=a₁(a₁+4d)，得d=0.                                            ……4分
(2) a_n=1+3(n-1)，如b_n=4^n-1便为符合条件的一个子数列.                      ……7分
因为b_n=4^n-1=(1+3)^n-1=1+

3²+…+

3^n-1=1+3M, ……9分
这里M=

3+…+

3^n-2为正整数，
所以,b_n="1+3M" ="1+3" [(M+1)-1]是{a_n}中的第M+1项，得证. ……11分
(注：b_n的通项公式不唯一)
(3) 该命题为假命题. ……12分
由已知可得

,
因此,

,又

,
故

, ……15分
由于

是正整数，且

，则

,
又

是满足

的正整数，则

,
所以，

,从而原命题为假命题. ……18分
点评：等差数列和等比数列是高考中常考的两种特殊数列，它们的判定和通项公式、前n项和公式的应用要熟练掌握，灵活应用.

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