Question

5．如图，在5个并排的正方形图案中作∠AO_nB（n=1，2，3，4，5，6），则这6个角中恰为135°的有（　　）个．

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 4

Answer 1

分析 设O_n（x，1），∠O_nAB=θ，∠O_nBA=φ，作出图形，利用两角和的正切可求得tan（θ+φ）=$\frac{tanθ+tanφ}{1-tanθtanφ}$=$\frac{\frac{1}{x}+\frac{1}{5-x}}{1-\frac{1}{x}•\frac{1}{5-x}}$=$\frac{5}{-{x}^{2}+5x-1}$=1，从而可得答案．

解答 解：设O_n（x，1），∠O_nAB=θ，∠O_nBA=φ，

则tanθ=$\frac{1}{x}$，tanφ=$\frac{1}{5-x}$，∵∠AO_nB=135°，
∴θ+φ=$\frac{π}{4}$，
∴tan（θ+φ）=$\frac{tanθ+tanφ}{1-tanθtanφ}$=$\frac{\frac{1}{x}+\frac{1}{5-x}}{1-\frac{1}{x}•\frac{1}{5-x}}$=$\frac{5}{-{x}^{2}+5x-1}$=1
解得：x=3或x=4，依题意，n=x，即n=3或n=4．
故选：C．

点评 本题考查两角和的正切，设O_n（x，1），∠O_nAB=θ，∠O_nBA=φ，求得tan（θ+φ）=$\frac{tanθ+tanφ}{1-tanθtanφ}$=$\frac{\frac{1}{x}+\frac{1}{5-x}}{1-\frac{1}{x}•\frac{1}{5-x}}$=$\frac{5}{-{x}^{2}+5x-1}$=1是关键，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．