Question

14．函数f（x）=xsinx+cosx在区间（0，$\frac{3π}{2}$）上的极大值为（　　）

• A． π
• B． -1
• C． 1
• D． $\frac{π}{2}$

Answer 1

分析 求解导数得出f（x）′=sinx+xcosx-sinx=xcosx，根据导数与单调性的关系判断得出f（x）在（0，$\frac{π}{2}$）单调递增，在（$\frac{π}{2}$，$\frac{3π}{2}$）单调递减，求解可以得出极大值．

解答 解；∵函数f（x）=xsinx+cosx，
∴f（x）′=sinx+xcosx-sinx=xcosx
∵x∈（0，$\frac{3π}{2}$）
f（x）′=0，x=$\frac{π}{2}$，
f（x）′＞0，0＜x＜$\frac{π}{2}$，
f（x）′＜0，$\frac{π}{2}$$＜x＜\frac{3π}{2}$，
∴f（x）在（0，$\frac{π}{2}$）单调递增，在（$\frac{π}{2}$，$\frac{3π}{2}$）单调递减．
∴x=$\frac{π}{2}$时，f（x）极大值=f（$\frac{π}{2}$）=$\frac{π}{2}$×sin$\frac{π}{2}$+cos$\frac{π}{2}$=$\frac{π}{2}$
故选：D．

点评 本题简单考查了导数，结合三角函数的性质，求解函数的极大值问题，属于中档题．