Question

19．数列{a_n}满足：a₁=1，且对任意的m，n∈N^*，都有：a_m+n=a_m+a_n+mn，则$\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_3}+…+\frac{1}{{{a_{2014}}}}$=$\frac{4028}{2015}$．

Answer 1

分析 通过令m=1可知a_n+1-a_n=n+1，利用累加法计算可知a_n=$\frac{n（n+1）}{2}$，裂项可知$\frac{1}{{a}_{n}}$=2（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），进而并项相加即得结论．

解答 解：∵a_m+n=a_m+a_n+mn，a₁=1，
∴a_n+1=a_n+n+1，
整理得：a_n+1-a_n=n+1，
∴a_n-a_n-1=n，a_n-1-a_n-2=n-1，…，a₂-a₁=2，
累加得：a_n-a₁=$\frac{（n-1）（n+2）}{2}$，
∴a_n=a₁+$\frac{（n-1）（n+2）}{2}$=1+$\frac{（n-1）（n+2）}{2}$=$\frac{n（n+1）}{2}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{2}{n（n+1）}$=2（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
∴$\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_3}+…+\frac{1}{{{a_{2014}}}}$=2（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{2014}$-$\frac{1}{2015}$）
=2（1-$\frac{1}{2015}$）
=$\frac{4028}{2015}$，
故答案为：$\frac{4028}{2015}$．

点评 本题考查数列的求和，对表达式的灵活变形及裂项是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．