Question

4．设数列{a_n}的前n项和为S_n，若S_n=n²+2n（n∈N^*），则$\frac{1}{{a}_{1}{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{2}{a}_{3}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=（　　）

• A． $\frac{1}{3}-\frac{1}{2n+1}$
• B． $\frac{1}{3}-\frac{1}{2n+3}$
• C． $\frac{1}{6}-\frac{1}{4n+3}$
• D． $\frac{1}{6}-\frac{1}{4n+6}$

Answer 1

分析 S_n=n²+2n（n∈N^*），当n=1时，a₁=S₁=3；当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1．可得$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（2n+1）（2n+3）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3}）$，利用“裂项求和”即可得出．

解答 解：∵S_n=n²+2n（n∈N^*），∴当n=1时，a₁=S₁=3；当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（n²+2n）-[（n-1）²+2（n-1）]=2n+1．
∴$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（2n+1）（2n+3）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3}）$，
∴$\frac{1}{{a}_{1}{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{2}{a}_{3}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{2}[（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$+$（\frac{1}{5}-\frac{1}{7}）$+…+$（\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3}）]$
=$\frac{1}{2}（\frac{1}{3}-\frac{1}{2n+3}）$
=$\frac{1}{6}$-$\frac{1}{4n+6}$．
故选：D．

点评 本题考查了递推关系、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．