Question

14．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{1}{2}$，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为$\sqrt{3}$．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）已知动直线y=k（x+1）与椭圆C相交于A，B两点．
①若线段AB中点的横坐标为-$\frac{1}{2}$，求斜率k的值；
②若点M（-$\frac{11}{8}$，0），求证：$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}$为定值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据椭圆的离心率，三角形的面积及椭圆几何量之间的关系，建立等式，即可求得椭圆的标准方程；
（Ⅱ）①直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理及线段AB中点的横坐标为-$\frac{1}{2}$，即可求斜率k的值；
②利用韦达定理，及向量的数量积公式，计算即可证得结论．

解答 （Ⅰ）解：因为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）满足a²=b²+c²，$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，…（2分）
根据椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为$\sqrt{3}$，可得bc=$\sqrt{3}$．
从而可解得a=2，b=$\sqrt{3}$，c=1，
所以椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$…（4分）
（Ⅱ）证明：①将y=k（x+1）代入$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$中，消元得（3+4k²）x²+8k²x+4k²-12=0…（6分）
令A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则由韦达定理可得x₁+x₂=-$\frac{8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$…（7分）
因为AB中点的横坐标为-$\frac{1}{2}$，所以-$\frac{8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$=-1，解得k=±$\frac{\sqrt{3}}{2}$…（9分）
②y₁y₂=k²x₁x₂+k²（x₁+x₂）+k²，
所以$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}$=（1+k²）x₁x₂+（k²+$\frac{11}{8}$）（x₁+x₂）+$\frac{121}{64}$+k²
=（1+k²）•$\frac{4{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$+（k²+$\frac{11}{8}$）（-$\frac{8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$）+$\frac{121}{64}$+k²
=-$\frac{135}{64}$．…（12分）

点评 本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量的数量积，考查学生的运算能力，综合性强．