Question

【题目】已知函数.

（1）求函数的单调区间和极值；

（2）若函数在区间上存在零点，求的最小值.（参考数据：）

Answer 1

【答案】（1）在为减函数，在为增函数，的极小值是，无极大值；（2）.

【解析】

（1）求出函数的导数，求得函数的单调性，进而求得函数的极值；

（2）求出得解析式，求出的都是，通过讨论的范围得到函数的单调性，求出得范围，进而求得的最小值.

（1）由题意，函数，则，

当时，，所以为减函数，为增函数，

的极小值是，无极大值；

（2），

则且，

（1）时，则，所以在上是增函数，得：

，

所以，

（2）时，则，所以在上是减函数，得：

，

所以，

（3）时，则，使得，

易知在上是减函数，在上是增函数，得：

所以，

记，则，，

由，得，所以在上为增函数，

得：，所以以在上为增函数，

得：，

此时可验证或必有其一大于等于0，故零点存在；

由（1）（2）（3）可得：的最小值等于.