Question

定义在（-1，1）上的函数f（x）满足：①对任意x，y∈(-1，1)有f(x)-f(y)=f(

x-y

1-xy

)，②当x∈（-1，0）时，有f（x）＞0；若P=f(

1

5

)+f(

1

11

)+…+f(

1

r2+r-1

)+…+f(

1

20092+2009-1

)，Q=f(

1

2

)，R=f（0），则P，Q，R的大小关系为

Q＜P＜R

（用“＜”连接）

Answer 1

分析：对于f（x）-f（y）=f（

x-y

1-xy

），当x＜y时，-1＜

x-y

1-xy

＜0，同时有xy＜1，可得f（x）-f（y）=f（

x-y

1-xy

）＞0，即f（x）-f（y）＞0，可得f（x）为减函数，进而分析P可得，P=f（

1

2

）-f（

1

3

）+f（

1

3

）-f（

1

4

）+…+f（

1

r

）-f（

1

r+1

）+…+f（

1

2009

）-f（

1

2010

），消项可得p=f（

1

2

）-f（

1

2010

）=f（

1 2 - 1 2010

1- 1 2 × 1 2010

）=f（

2008

4019

），结合函数的单调性，可得答案．

解答：解：根据题意，若x、y∈（-1，1），有（1-xy）²-（x-y）²=（1-x²）（1-y²）＞0，即（1-xy）²＞（x-y）²，
则可得-1＜

x-y

1-xy

＜1，
当x＜y时，易得xy＜1，进而可得-1＜

x-y

1-xy

＜0，此时有f（x）-f（y）=f（

x-y

1-xy

）＞0，即f（x）-f（y）＞0，
则f（x）为减函数，
对于P，f（

1

r2+r-1

）=f（

1 r - 1 r+1

1- 1 r × 1 r+1

）=f（

1

r

）-f（

1

r+1

），
则P=f（

1

2

）-f（

1

3

）+f（

1

3

）-f（

1

4

）+…+f（

1

r

）-f（

1

r+1

）+…+f（

1

2009

）-f（

1

2010

）=f（

1

2

）-f（

1

2010

）=f（

1 2 - 1 2010

1- 1 2 × 1 2010

）=f（

2008

4019

），
易得0＜

2008

4019

＜

1

2

，根据f（x）为减函数，
可得f（0）＞f（

2008

4019

）＞f（

1

2

），
即Q＜P＜R；
故答案为Q＜P＜R．

点评：本题考查抽象函数的应用，关键在于根据题意，判断函数的单调性，难点在于对P的转化．