Question

已知函数f（x）=（x³-6x²+3x+t ）e^x，（t∈R，e为自然对数的底数）．
（Ⅰ）若函数y=f（x）有三个极值点，求t的取值范围；
（Ⅱ）若存在实数t∈[0，2]，使对任意的x∈[1，m]，不等式f（x）≤x恒成立．求正整数m的最大值．

Answer 1

（I）f′（x）=（3x²-12x+3）e^x+（x³-6x²+3x+t）e^x=（x³-3x²-9x+t+3）e^x
∵f（x）有三个极值点，∴x³-3x²-9x+t+3=0有三个根，
令g（x）=x³-3x²-9x+t+3，g′（x）=3x²-6x-9=3（x+1）（x-3）
∴g（x）在（-∞，-1），（3，+∞）上递增，（-1，3）上递减，
∵g（x）有三个零点，
∴

g(-1)＞0 g(3)＜0

∴-8＜t＜24…（4分）
（II）不等式f（x）≤x，即（x³-6x²+3x+t）e^x≤x，即t≤xe^-x-x³+6x²-3x．
转化为存在实数t∈[0，2]，使对任意的x∈[1，m]，不等式t≤xe^-x-x³+6x²-3x恒成立．
即不等式0≤xe^-x-x³+6x²-3x在x∈[1，m]上恒成立．
即不等式0≤e^-x-x²+6x-3在x∈[1，m]上恒成立…（6分）
设φ（x）=e^-x-x²+6x-3，则φ（x）=-g^-x-2x+6．
设r（x）=φ（x）=-g^-x-2x+6，则r′（x）=g^-x-2，因为1≤x≤m，有r′（x）＜0．
故r（x）在区间[1，m]上是减函数…（8分）
又r（1）=4-e^-1＞0，r（2）=2-e^-2＞0，r（3）=-e^-3＜0
故存在x₀∈（2，3），使得r（x₀）=φ′（x₀）=0．
当1≤x＜x₀时，有φ′（x）＞0，当x＞x₀时，有φ′（x）＜0．
从而y=φ（x）在区间[1，x₀）上递增，在区间（x₀，+∞）上递减…（10分）
又φ（1）=e^-1+4＞0，φ（2）=e^-2+5＞0，φ（3）=e^-3+6＞0
φ（4）=e^-4+5＞0，φ（5）=e^-5+2＞0，φ（6）=e^-6-3＜0
所以当1≤x≤5时，恒有φ（x）＞0；当x≥6时，恒有φ（x）＜0；
故使命题成立的正整数m的最大值为5．…（12分）