Question

4．设f（x）的定义域为[-3，3]，且f（x）是奇函数．当x∈[0，3]时，f（x）=x（1-3^x），
（1）求当x∈[-3，0）时，f（x）的解析式；
（2）解不等式f（x）＜-8x．
（3）记P={x|y=f（x-c）}，Q={x|y=f（x-c²）}，若P∩Q=∅，求c的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用函数是奇函数，结合当x∈[0，3]时，f（x）=x（1-3^x），即可求当x∈[-3，0）时，f（x）的解析式；
（2）结合（1）的结论，分类讨论，即可解不等式f（x）＜-8x．
（3）当f（x-c）=f（x-c²），有解的条件是x-c=x-c²，且x-c=x-c²∈[-1，1]，可得P∩Q=∅，c的取值范围．

解答 解：（1）设x∈[-3，0），则-x∈（0，3]，
∵x∈[0，3]时，f（x）=x（1-3^x），
∴f（-x）=-x（1-3^-x），
∵f（x）是奇函数，
∴f（x）=-f（-x）=x（1-3^-x）；
（2）x∈[0，3]时，f（x）=x（1-3^x）＜-8x，∴x＞2，∴2＜x≤3；
当x∈[-3，0）时，f（x）=x（1-3^-x）＜-8x，∴x＞2，∴-2＜x＜0；
综上所述，不等式的解集为{x|-2＜x＜0或2＜x≤3}；
（3）当f（x-c）=f（x-c²），有解的条件是x-c=x-c²，且x-c=x-c²∈[-1，1]，即c（c-1）=0；
∴c=0 或c=1时f（x-c）=f（x-c²），有解；
故c的取值范围：c≠0且c≠1．

点评 本题考查函数的解析式，考查函数的奇偶性，考查学生分析解决问题的能力，正确转化是关键．