Question

12．已知f（log_ax）=log_a²x-alog_ax²+4，（a＞0，a≠1）
（1）求y=f（x）的解析式；
（2）若方程f（3^x）=0在（0，1）内有两个不同的根，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用换元法直接写出函数的解析式即可．
（2）转化方程为二次方程，利用根的分布求解a的范围．

解答 解：（1）f（log_ax）=log_a²x-alog_ax²+4，（a＞0，a≠1）
y=f（x）的解析式：f（x）=x²-2ax+4，（a＞0，a≠1）
（2）x∈（0，1），令3^x=t∈（1，3），
方程f（3^x）=0，即（3^x）²-2a3^x+4=0．
即t²-2at+4=0在（1，3）内有两个不同的根，
可得：$\left\{\begin{array}{l}1＜a＜3\\{a}^{2}-2{a}^{2}+4＜0\\ 1-2a+4＞0\\ 9-6a+4＞0\end{array}\right.$，
解得：2$＜a＜\frac{13}{6}$．
a的取值范围：（2，$\frac{13}{6}$）．

点评 本题考查函数的解析式的求法，二次函数的性质的应用，考查计算能力以及转化思想的应用．