Question

对于数列a_n，（1）已知a_n是一个公差不为零的等差数列，a₅=6．
①当a₃=2时，若自然数n₁，n₂，…，n_t，…满足5＜n₁＜n₂＜…＜n_t＜…，且a₃，a₅，a_n1，a_n2，…，a_nt，…是等比数列，试用t表示n_t；
②若存在自然数n₁，n₂，…，n_t，…满足5＜n₁＜n₂＜…＜n_t＜…，且a₃，a₅，a_n1，a_n2，…，a_nt，…构成一个等比数列．求证：当a₃是整数时，a₃必为12的正约数．
（2）若数列a_n满足a_n+1a_n+3a_n+1+a_n+4=0，且a₂₀₀₉小于数列a_n中的其他任何一项，求a₁的取值范围．

Answer 1

（1）①因为a₃=2，a₅=6，所以，公差d=

a5-a3

2

=2，
从而a_n=a₅+（n-5）d=2n-4（2分）
又a₃，a₅，a_n1，a_n2，a_nt，是等比数列，所以公比q=

a5

a3

=3，所以
a_nt=a₅•3^t=2•3^t+1，t∈N^*．
又a_nt=2n_t-4，所以2n_t-4=2•3^t+1，所以
n_t=3^t+1+2，t∈N^*．（4分）
②因为n₁＞5时，a₃，a₅，a_n1成等比数列，所以a₃a_n1=a₅²，即an1=

a 25

a3

=

36

a3

．（6分）
所以当n≥3时，
an1=a3+(n1-3)•

a5-a3

2

=a3+

6-a3

2

(n1-3)，
所以

36

a3

=a3+

6-a3

2

(n1-3)，
即

36

a3

-a3=

6-a3

2

(n1-3)，
所以

36- a 23

a3

=

6-a3

2

(n1-3)．
因为6-a3≠0，所以

6+a3

a3

=

n1-3

2

，解得n1=5+

12

a3

．
因为n₁是整数，且n₁＞5，所以

12

a3

是正整数，从而整数a₃必为12的正约数．（8分）
（2）由a_n+1a_n+3a_n+1+a_n+4=0，得a_n+1a_n+2a_n+1+2a_n+4=a_n-a_n+1，
即（a_n+1+2）（a_n+2）=（a_n+2）-（a_n+1+2）．（*）（10分）
由（*）知：若存在a_k=-2，则a_k+1=-2；若存在a_k+1=-2，则a_k=-2，所以a_n是常数列，与“a₂₀₀₉小于数列a_n中的其他任何一项”矛盾，因此（a_n+1+2）（a_n+2）≠0．
由（*）式知

1

an+1+2

-

1

an+2

=1，从而数列{

1

an+2

}是首项为

1

a1+2

，公差为1的等差数列，即

1

an+2

=

1

a1+2

+(n-1)．（12分）
方法一由于数列{

1

an+2

}是递增数列，且a₂₀₀₉小于数列{a_n}中的其他任何一项，即a₂₀₀₉+2小于数列{a_n+2}中的其他任何一项，所以a₂₀₀₉+2＜0，
且a₂₀₁₀+2＞0，这是因为若a₂₀₀₉+2＞0，则由

1

a2009+2

＜

1

a2010+2

，
得a₂₀₀₉+2＞a₂₀₁₀+2＞0，即a₂₀₀₉＞a₂₀₁₀，与
“a₂₀₀₉小于数列a_n中的其他任何一项”矛盾：若a2010+2＜0，则由

1

a2009+2

＜

1

a2010+2

，得a2010+2＜a2009+2＜0，即a2009＞a2010，与“a₂₀₀₉小于数列a_n中的其他任何一项”矛盾：因此，a2009+2＜0，且

1

a2009+2

=

1

a2010+2

-1＞-1，从而-1＜

1

a2009+2

＜0，
即-1＜

1

a1+2

+2008＜0，即-2009＜

1

a1+2

＜-2008，
即-

1

2008

＜a1+2＜-

1

2009

，
即-1＜

1

2008

-2＜a1＜-

1

2009

-2，即-

4017

2008

＜a1＜-

4019

2009

．(15分)
综上，a₁的取值范围是(-

4017

2008

，-

4019

2009

)．(16分)
方法二

1

an+2

=n-(1-

1

a1+2

)，即an+2=

1

n-(1- 1 a1+2 )

，所以
当n＜1-

1

a1+2

时，a_n+2单调递增，且a_n+2＜0；
当n＞1-

1

a1+2

时，2+a_n单调递减，且a_n+2＞0．
由于a₂₀₀₉小于数列{a_n}中的其他任何一项，即a₂₀₀₉+2小于数列{a_n+2}中的其他任何一项，
所以a₂₀₀₉+2＜0，且a₂₀₁₀+2＞0，
即2009＜1-

1

a1+2

＜2010，
即-2009＜

1

a1+2

＜-2008，
即-

1

2008

＜a1+2＜

1

2009

；
解得-

4017

2008

＜a1＜-

4019

2009

．
综上，a₁的取值范围是(-

4017

2008

，-

4019

2009

)．（16分）