Question

已知数列{a_n}满足：an+1=2an+2n+2，a1=2，
（1）求证数列{

an

2n

}为等差数列；
（2）求数列{a_n}的前n项的和S_n；
（3）令

1

bn-1

=

an

2n

，Tn为数列{b_n}的前n项的积，求证：Tn＞

2n+1

．

Answer 1

分析：（1）在等式a_n+1=2a_n+2ⁿ⁺²的两边同除以2ⁿ，利用等差数列的定义得到证明，
（2）利用对称数列的通项公式求出

an

2n

，进一步求出数列{a_n}的通项公式．由于通项是一个等差数列与一个等比数列的积构成的新数列，利用错位相减法求出数列的前n项和．
（3））由于

1

bn-1

=

an

2n

=2n-1，可得bn=

2n

2n-1

．利用放缩法即可证得结论．

解答：解：（1）an+1=2an+2n+2⇒

an+1

2n+1

=

an

2n

+2，
∴{

an

2n

}是公差为2，首项为

a1

2

=1的等差数列
（2）由（1）知：

an

2n

=2n-1，∴an=(2n-1)•2n，
故Sn=1×2+3×22+5×23+…+(2n-1)×2n①
①×2得：2Sn=1×22+3×23+5×24+…+(2n-1)×2n+1②
②-①得：Sn=-2-23-24-…-2n+1+(2n-1)•2n+1
∴Sn=6+(2n-3)•2n+1
（3）∵

1

bn-1

=

an

2n

=2n-1
∴bn=

2n

2n-1

∵（2n）²＞（2n）²-1=（2n+1）（2n-1）
∴

2n

2n-1

＞

2n+1

2n

∴(

2n

2n-1

)2＞

2n

2n-1

•

2n+1

2n

=

2n+1

2n-1

∴bn=

2n

2n-1

＞

2n+1 2n-1

，
∴Tn=b1b1•…•bn＞

3 1 • 5 3 • 7 5 •…• 2n+1 2n-1

=

2n+1

．

点评：本题主要考查了利用数列的递推公式构造等差数列，求解数列的通项公式，错位相减求解数列的和是数列求和方法中的重点与难点，要注意掌握．求数列的前n项和，一般先求出数列的通项，然后选择合适的求和方法．常用的求和方法有：公式法、倒序相加法、错位相减法、裂相消法、分组法．