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    （07年上海卷理）（18分）

    已知半椭圆与半椭圆组成的曲线称为“果圆”，其中。如图，设点，，是相应椭圆的焦点，，和，是“果圆” 与，轴的交点，

    （1）若三角形是边长为1的等边三角形，求“果圆”的方程；

    （2）若，求的取值范围；

    （3）一条直线与果圆交于两点，两点的连线段称为果圆的弦。是否存在实数，使得斜率为的直线交果圆于两点，得到的弦的中点的轨迹方程落在某个椭圆上？若存在，求出所有的值；若不存在，说明理由。

    解析：（1） ，

    ，

        于是，所求“果圆”方程为                           

        ， 

    （2）由题意，得  ，即．

             ，，得．  

         又．  ．               

        （3）设“果圆”的方程为，．

        记平行弦的斜率为．

    当时，直线与半椭圆的交点是

    ，与半椭圆的交点是．

     的中点满足  得 ．

         ， ．

        综上所述，当时，“果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上．  

        当时，以为斜率过的直线与半椭圆的交点是．  

    由此，在直线右侧，以为斜率的平行弦的中点轨迹在直线上，

    即不在某一椭圆上．

        当时，可类似讨论得到平行弦中点轨迹不都在某一椭圆上．

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