Question

定义：将一个数列中部分项按原来的先后次序排列所成的一个新数列称为原数列的一个子数列．
已知无穷等比数列{a_n}的首项、公比均为

1

2

．
（1）试求无穷等比子数列{a_3k-1}（k∈N^*）各项的和；
（2）是否存在数列{a_n}的一个无穷等比子数列，使得它各项的和为

1

7

？若存在，求出满足条件的子数列的通项公式；若不存在，请说明理由；
（3）试设计一个数学问题，研究：是否存在数列{a_n}的两个不同的无穷等比子数列，使得其各项和之间满足某种关系．请写出你的问题以及问题的研究过程和研究结论．

Answer 1

（1）依条件得：a3k-1=

1

23k-1

(k∈N*)，
∴无穷等比子数列{a_3k-1}的首项为a₂=

1

22

，公比为

1

23

，
则无穷等比数列{a_3k-1}各项的和为：

a2

1- 1 23

=

1 22

7 8

=

2

7

；
（2）设此子数列的首项为a₁，公比为q，由条件得：0＜q≤

1

2

，
则

1

2

≤1-q＜1，即 1＜

1

1-q

≤2，
∴a1=

1

7

(1-q)∈[

1

14

 ，

1

7

)
而 a1=

1

2m

 (m∈N*)，
则 a1=

1

8

 ，q=

1

8

，
所以，满足条件的无穷等比子数列存在且唯一，它的首项、公比均为

1

8

，
其通项公式为an=(

1

8

)n，n∈N^*；
（3）问题：是否存在数列{a_n}的两个不同的无穷等比子数列，使得它们各项的和互为倒数？若存在，求出所有满足条件的子数列；若不存在，说明理由．
假设存在原数列的两个不同的无穷等比子数列，使它们的各项和之积为1．设这两个子数列的首项、公比分别为

1

2a

、

1

2m

和

1

2b

、

1

2n

，其中a、b、m、n∈N^*且a≠b或m≠n，则

1 2a

1- 1 2m

•

1 2b

1- 1 2n

=1?

2(m+n)-(a+b)

(2m-1)(2n-1)

=1?2(m+n)-(a+b)=(2m-1)(2n-1)，
因为等式左边或为偶数，或为一个分数，而等式右边为两个奇数的乘积，还是一个奇数．
故等式不可能成立，即假设错误，
所以这样的两个子数列不存在．