Question

16、如图，底面为菱形的直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别为A₁B₁、B₁C₁的
中点，G为DF的中点．
（1）求证：EF⊥平面B₁BDD₁；
（2）过A₁、E、G三点平面交DD₁于H，求证：EG∥MA₁．

Answer 1

分析：（1）由E、F分别为A₁B₁、B₁C₁的中点，可得EF∥A₁C₁，由已知底面A₁B₁C₁D₁为菱形可得A₁C₁⊥DB，从而可得EF⊥DB①在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中易得DD₁⊥EF②由①②根据直线与平面垂直的判定定理可证
（2）延长FE交D₁A₁的延长线于点H，连接DH，可证 HE=EF，结合已知G、E分别为DF、HF的中点，可得GE∥DH．根据线面平行的判定定理可得EG∥平面AA₁D₁D．再由线面平行的性质定理可得EG∥MA₁．

解答：（1）因为E、F分别为A₁B₁、B₁C₁的中点，所以EF∥A₁C₁，
因为底面A₁B₁C₁D₁为菱形，所以A₁C₁⊥B₁D₁，所以EF⊥B₁D₁．
因为直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁，所以DD₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，
又因为EF?平面A₁B₁C₁D₁，所以DD₁⊥EF．
又B₁D₁∩DD₁=D₁，B₁D₁?平面B₁BDD₁，
DD₁?平面B₁BDD₁，所以EF⊥平面B₁BDD₁．
（2）延长FE交D₁A₁的延长线于点H，连接DH，
因为E、F分别为A₁B₁、B₁C₁的中点，
所以△EFB₁≌△EHA₁，所以HE=EF，
在△FDH中，因为G、E分别为DF、HF的中点，
所以GE∥DH．
又GE∉平面AA₁D₁D，DH⊆平面AA₁D₁D，
故EG∥平面AA₁D₁D．因为过A₁、E、G三点平面交DD₁于M，
所以面A₁MGE∩面AA₁D₁D=MA₁，EG⊆面A₁MGE，所以EG∥MA₁．

点评：本题主要考查了直线与平面位置关系的两种位置关系：直线与平面平行，直线与平面垂直，及线面关系与线线关系的相互转化，熟练掌握基本定理、基本方法是解决本题的关键．