Question

4．已知$|\overrightarrow a|=1$，$|\overrightarrow b|=2$，且$（λ\overrightarrow a+\overrightarrow b）⊥（2\overrightarrow a-λ\overrightarrow b）$，$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$的夹角为60°，则λ=$-1±\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 根据向量的数量积和向量的垂直的条件即可得到关于λ的方程，解得即可．

解答 解：$|\overrightarrow a|=1$，$|\overrightarrow b|=2$，$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$的夹角为60°，
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow{b}$|cos60°=1×2×$\frac{1}{2}$=1，
∵$（λ\overrightarrow a+\overrightarrow b）⊥（2\overrightarrow a-λ\overrightarrow b）$，
∴（λ$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）•（2$\overrightarrow{a}$-λ$\overrightarrow{b}$）=2λ|$\overrightarrow{a}$|²-λ|$\overrightarrow{b}$|²+（2-λ²）$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=2λ-4λ+2-λ²=0，
解得λ=$-1±\sqrt{3}$，
故答案为：$-1±\sqrt{3}$，

点评 本题考查了向量的数量积和向量的垂直的条件，属于基础题．