Question

已知函数．
（Ⅰ）若函数f（x）在x=0处的切线l₀与x=1处的切线l₁相互平行，求实数a的值及此时函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若0＜a＜4，求证：exf（x）＜（a+1+aexlnx）（x²+ax+a）．

Answer 1

解：（I）由函数f（x）在x=0处的切线l₀与x=1处的切线l₁相互平行，
知：f′（0）=f′（1），
而f′（x）=，∴，解得a=1，
此时f′（x）=，令f′（x）≥0，得0≤x≤1，
故函数f（x）的单调递减区间是（-∞，0）和（1，+∞），单调递减区间是（0，1）；
（II）证明：原不等式等价于ex＜（a+1+aexlnx）（x²+ax+a）．
∵0＜a＜4，∴x²+ax+a＞0，原不等式等价于ex＜a+1+aexlnx，
即，
设g（x）=，h（x）=，
对于g（x），列表如下：

可知，g（x）≥g（）=；
对于h（x），列表如下：

可知，h（x）≤h（1）=；
综上所述，g（x）≥h（x）恒成立，又因为这两个函数不在同一点取最值，
于是g（x）＞h（x）恒成立，
从而 原不等式成立．
分析：（I）先求导函数，然后函数f（x）在x=0处的切线l₀与x=1处的切线l₁相互平行，则f′（0）=f′（1），求出a的值，最后利用导数符号确定函数的单调性，即可求出函数的单调区间．
（II）原不等式等价于ex＜（a+1+aexlnx）（x²+ax+a），也等价于即，
设g（x）=，h（x）=，利用导数工具研究这两个函数的单调性的最值，可知g（x）≥h（x）恒成立，又因为这两个函数不在同一点取最值，从而得出原不等式成立．
点评：本小题主要考查函数单调性的应用、利用导数研究曲线上某点切线方程、利用导数研究函数的极值、不等式的证明等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于基础题．