Question

2．如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，A₁C₁⊥BB₁，AC=BC=BB₁，E为A₁B₁的中点，且C₁E⊥BB₁．
（1）求证：A₁C∥平面BEC₁；
（2）求A₁C与平面ABB₁A所成角的大小．

Answer 1

分析 （1）连结B₁C，交BC₁于F，连结EF，推导出EF∥A₁C，由此能证明A₁C∥平面BEC₁．
（2）取AB中点D，连结DE，DA₁，DC，推导出C₁E∥CD，CD⊥平面ABB₁A₁，∠CA₁D是A₁C与平面ABB₁A所成角，由此能求出A₁C与平面ABB₁A所成角的大小．

解答 （本小题12分）
证明：（1）连结B₁C，交BC₁于F，连结EF，
∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BB₁C₁C是平行四边形，∴F为B₁C中点，
∵E为A₁B₁的中点，∴EF∥A₁C，
∵EF?平面BEC₁，A₁C?平面BEC₁，
∴A₁C∥平面BEC₁．…（4分）
解：（2）取AB中点D，连结DE，DA₁，DC，
∵E为A₁B₁中点，∴三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，DE∥CC₁，
∴四边形C₁EDC是平行四边形，∴C₁E∥CD，
∵C₁E⊥A₁B₁，C₁E⊥BB₁，∴C₁E⊥平面ABB₁A₁，
∴CD⊥平面ABB₁A₁，
∴∠CA₁D是A₁C与平面ABB₁A所成角，
∵CD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AC，A₁C=$\sqrt{2}AC$，
∴sin∠CA₁D=$\frac{CD}{{A}_{1}C}$=$\frac{1}{2}$，∴$∠C{A}_{1}D=\frac{π}{6}$．
∴A₁C与平面ABB₁A所成角的大小为$\frac{π}{6}$．

点评 本题考查线面平行的证明，考查线面角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．