Question

10．（1）设f（x）=ax+b，且$\int_{\;-1}^{\;1}{{{[{f（x）}]}^2}dx}=2$，求f（a）的取值范围．
（2）求函数f（x）=x³-3x过点P（1，-2）的切线方程．

Answer 1

分析 （1）利用定积分得出a²+3b²=3，取a=$\sqrt{3}$cosα，b=sinα，f（a）=a²+b=3cos²α+sinα=$-3（sinα-\frac{1}{6}）^{2}+\frac{37}{12}$，即可求f（a）的取值范围；
（2）根据导数的几何意义，先求出斜率即可，故先设切点坐标为（t，t³-3t），利用导数求出在x=t处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．

解答 解：（1）由题意（$\frac{{a}^{2}}{3}{x}^{3}$+abx²+b²x）${|}_{-1}^{1}$=$\frac{2{a}^{2}}{3}+2{b}^{2}$=2，∴a²+3b²=3，
取a=$\sqrt{3}$cosα，b=sinα，f（a）=a²+b=3cos²α+sinα=$-3（sinα-\frac{1}{6}）^{2}+\frac{37}{12}$，
∴$-1≤f（a）≤\frac{37}{12}$；
（2）∵函数的导数为f′（x）=3x²-3，
设切点坐标为（t，t³-3t），
则切线的斜率k=f′（t）=3t²-3=3（t²-1），
则切线方程为y-（t³-3t）=3（t²-1）（x-t），
∵切线过点P（1，-2），
∴-2-（t³-3t）=3（t²-1）（1-t），
∴t=$\frac{\sqrt{3}}{3}$或t=$\frac{1}{2}$．
∴切线的方程：y+2=0或9x+4y-1=0．

点评 本题考查导数知识的综合运用，考查导数的几何意义，考查定积分知识，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．