Question

1．设集合A={（x，y）|y=f（x）}，若对于任意的（x₁，y₁）∈A，总存在（x₂，y₂）∈A，使得x₁x₂+y₁y₂=0，则称集合A具有性质P．给定下列4个集合：
①A₁={（x，y）|y=2^x }
②A₂={（x，y）|y=1+sinx}
③A₃={（x，y）|y=（x-1）${\;}^{\frac{1}{3}}$} 
 ④A₄═{（x，y）|y=ln|x|}．
其中具有性质P的为②③（填对应的序号）

Answer 1

分析 利用定义，对4个选项分别进行判断，即可得出结论．

解答 解：①A₁={（x，y）|y=2^x }，取点（0，1），曲线上不存在另外的点，使得两点与原点的连线互相垂直，所以不正确．
对于②M={（x，y）|y=sinx+1}，对于任意（x₁，y₁）∈M，存在（x₂，y₂）∈M，使得x₁x₂+y₁y₂=0成立，例如（0，1）、（π，0），满足定义，所以正确．
③A₃={（x，y）|y=（x-1）${\;}^{\frac{1}{3}}$}，取点（0，-1），（1，0），满足定义，所以正确．
④A₄═{（x，y）|y=ln|x|}，如图取点（1，0），曲线上不存在另外的点，使得两点与原点的连线互相垂直，所以不正确．

故答案为②③．

点评 本题考查新定义，利用对于任意（x₁，y₁）∈M，存在（x₂，y₂）∈M，使得x₁x₂+y₁y₂=0成立，是本题解答的关键，函数的基本性质的考查，注意存在与任意的区别．