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    9．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线与抛物线C：y2=2px（p＞0）的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为$\sqrt{3}$
    （1）求抛物线C的方程；
    （2）过点D（-1，0）的直线l与抛物线C交于不同的两点E，F，若在x轴上存在一点P（x0，0）使得△PEF是等边三角形，求x0的值．

    分析 （1）求出双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程与抛物线y2=2px（p＞0）的准线方程，进而求出A，B两点的坐标，再由双曲线的离心率为2，△AOB的面积为$\sqrt{3}$，列出方程，由此方程求出p的值．
    （2）设直线l的方程，代入抛物线方程，设出A，B的坐标，利用韦达定理表示出x1+x2和x1x2，则线段AB中点坐标以及AB的中垂线的方程可得，把y=0代入方程，最后利用△ABE为正三角形，利用正三角的性质推断E到直线AB的距离的关系式求得k，则x0可求．

    解答 解：（1）∵双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0），
    ∴双曲线的渐近线方程是y=±$\frac{b}{a}$x
    又抛物线y2=2px（p＞0）的准线方程是x=-$\frac{p}{2}$，
    故A，B两点的纵坐标分别是y=±$\frac{pb}{2a}$，
    又由双曲线的离心率为2，所以$\frac{c}{a}$=2，则$\frac{b}{a}$=$\sqrt{3}$，
    A，B两点的纵坐标分别是y=±$\frac{pb}{2a}$=±$\frac{\sqrt{3}p}{2}$，
    又△AOB的面积为$\sqrt{3}$，x轴是角AOB的角平分线
    ∴$\frac{1}{2}×\sqrt{3}p×\frac{p}{2}$=$\sqrt{3}$，得p=2，
    ∴抛物线C的方程y2=4x；
    （2）由题意知：直线l的斜率存在且不为0，设其方程为：y=k（x+1），
    其中k≠0代入y2=4x，得k2x2+2（k2-2）x+k2=0①
    设E（x1，y1），F（x2，y2），则x1，x2是方程①的两个实数根，由韦达定理得x1+x2=-$\frac{2（{k}^{2}-2）}{{k}^{2}}$，x1x2=1
    所以，线段EF的中点坐标为（$\frac{2-{k}^{2}}{{k}^{2}}$，$\frac{2}{k}$），线段EF的垂直平分线方程为y-$\frac{2}{k}$=-$\frac{1}{k}$（x-$\frac{2-{k}^{2}}{{k}^{2}}$），
    令y=0，x0=$\frac{2}{{k}^{2}}$+1，所以，点P的坐标为（$\frac{2}{{k}^{2}}$+1，0）．
    因为△PEF为正三角形，所以，点P（$\frac{2}{{k}^{2}}$+1，0）到直线EF的距离等于$\frac{\sqrt{3}}{2}$|AB|，
    而|EF|=$\frac{4\sqrt{1-{k}^{2}}}{{k}^{2}}•\sqrt{1+{k}^{2}}$．
    所以，$\frac{2\sqrt{3}•\sqrt{1-{k}^{2}}}{{k}^{2}}=\frac{2\sqrt{1+{k}^{2}}}{|k|}$解得k=$±\frac{\sqrt{3}}{2}$，所以x0=$\frac{11}{3}$．

    点评 本题考查圆锥曲线的共同特征，解题的关键是求出双曲线的渐近线方程，解出A，B两点的坐标，列出三角形的面积与离心率的关系也是本题的解题关键，有一定的运算量，做题时要严谨，防运算出错．

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