Question

4．三棱锥S-ABC中，底面ABC为等腰直角三角形，BA=BC=2，侧棱SA=SC=2$\sqrt{3}$，二面角S-AC-B的余弦值为$\frac{\sqrt{5}}{5}$，则此三棱锥外接球的表面积为（　　）

• A． 16π
• B． 12π
• C． 8π
• D． 4π

Answer 1

分析 审题后，二面角S-AC-B的余弦值为$\frac{\sqrt{5}}{5}$是重要条件，根据定义，先作出它的平面角，如图所示．进一步分析此三棱锥的结构特征，找出其外接球半径的几何或数量表示，再进行计算．

解答 解：如图所示：
取AC中点D，连接SD，BD，则由AB=BC，SA=SC得出SD⊥AC，BD⊥AC，
∴∠SDB为S-AC-B的平面角，且AC⊥面SBD．
又∵BD⊥AC，故BD=AD=$\frac{1}{2}$AC=$\sqrt{2}$，
在△SAC中，SD²=SA²-AD²=10，
在△SBD中，由余弦定理得SB²=SD²+BD²-2SD•BDcos∠SDB=8，
满足SB²=SD²-BD²，
∴∠SBD=90°，SB⊥BD，
又SB⊥AC，BD∩AC=D，∴SB⊥面ABC．
以SB，BA，BC为棱可以补成一个长方体，S、A、B、C都在长方体的外接球上，
长方体的对角线为球的一条直径，所以2R=$\sqrt{4+4+8}$=4，R=2，
∴球的表面积S=4π×2²=16π．
故选：A

点评 本题考查面面角，考查球的表面积，解题的关键是确定外接圆的半径，属于中档题．