Question

16．已知函数f（x）=（x-2）e^x
（I）求f（x）的单调区间；
（II）函数g（x）=ax²-2ax，若对一切x∈（2，+∞）有f（x）≥g（x）恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
（Ⅱ）问题转化为a≤$\frac{{e}^{x}}{x}$在x∈（2，+∞）恒成立，令h（x）=$\frac{{e}^{x}}{x}$，根据函数的单调性求出a的范围即可．

解答 解：（ I）f′（x）=（x-1）e^x，
令f′（x）＞0，解得：x＞1，
令f′（x）＜0，解得：x＜1，
函数在（-∞，1）上单减，在（1，+∞）上单增；
（ II）若对一切x∈（2，+∞）有f（x）≥g（x）恒成立，
则（x-2）e^x≥ax（x-2），在（2，+∞）恒成立，
即a≤$\frac{{e}^{x}}{x}$在x∈（2，+∞）恒成立，
令h（x）=$\frac{{e}^{x}}{x}$，则h′（x）=$\frac{{e}^{x}（x-1）}{{x}^{2}}$＞0，x∈（2，+∞），
故h（x）＞h（2）=$\frac{{e}^{2}}{2}$，
则a≤h（2）=$\frac{{e}^{2}}{2}$．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道中档题．