Question

1．甲、乙 两人独立地破译一个密码，他们能译出密码的概率分别为$\frac{1}{3}和\frac{1}{4}$，求：
（Ⅰ） 两个人都能译出密码的概率；
（Ⅱ） 恰有一个人译出密码的概率；
（Ⅲ） 至多有一个人译出密码的概率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用相互独立事件的概率乘法公式求得两个人都能译出密码的概率．
（Ⅱ）求出甲能译出密码而乙不能译出密码的概率、甲不能译出密码而乙能译出密码的概率，相加即得所求．
（Ⅲ） 用1减去甲乙都能译出密码的概率，即为至多有一个人译出密码的概率．

解答 解：记“甲译出密码”为事件A，“乙译出密码”为事件B，“两人都译出密码”为事件C，“两人都译不出密码”为事件D，
“恰有一人译出密码”为事件E，“至多一个人译出密码”为事件F，
（Ⅰ）$P（C）=P（A∩B）=P（A）P（B）=\frac{1}{3}×\frac{1}{4}=\frac{1}{12}$，即两个人都能译出的概率为$\frac{1}{12}$．
（Ⅱ）$P（E）=P[{（A∩\overline B）∪（\overline A∩B）}]=P（A∩\overline B）+P（\overline A∩B）=\frac{1}{3}×（1-\frac{1}{4}）+（1-\frac{1}{3}）×\frac{1}{4}=\frac{5}{12}$，
即 恰有一个人译出密码的概率为$\frac{5}{12}$．
（Ⅲ）利用事件的对立事件求得$P（F）=1-P（A∩B）=1-\frac{1}{12}=\frac{11}{12}$，
所以至多有一个人译出密码的概率.$\frac{11}{12}$．

点评 本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式的应用，事件与它的对立事件概率间的关系，属于中档题．