Question

有下列命题：
①在函数y=cos（x-

π

4

）cos（x+

π

4

）的图象中，相邻两个对称中心的距离为π；
②函数y=log₂|3x-m|的图象关于直线x=

1

2

对称，则m=

3

2

；
③关于x的方程ax²-2x+1=0有且仅有一个实数根，则实数a=1；
④设0≤x≤2π，且

1-sin2x

=sinx-cosx，则x的取值范围是

π

4

≤x≤

5π

4

其中真命题的序号是

②④

．

Answer 1

分析：①利用三角函数公式化为y=

1

2

cos2x，T=π，相邻两个对称中心的距离为

π

2

，
②函数y=log₂|3x-m|=

log	3|x- m 3 | 2

，对称轴为x=

m

3

，
③关于x的方程ax²-2x+1=0，当a=0时，方程为-2x+1=0，有且仅有一个实数根．
④利用三角函数的性质，考查察sinx≥cosx的解．

解答：解：①函数y=cos（x-

π

4

）cos（x+

π

4

）=cos（x-

π

4

）cos（x+

π

4

）=(

2

2

cosx+

2

2

sinx)(

2

2

cosx-

2

2

sinx)=

1

2

(cos2x-sin2x)=

1

2

cos2x，T=π，相邻两个对称中心的距离为

π

2

，故错误．
②函数y=log₂|3x-m|=

log	3|x- m 3 | 2

，对称轴为x=

m

3

，由

m

3

=

1

2

，得出m=

3

2

；故正确．
③关于x的方程ax²-2x+1=0，当a=0时，方程为-2x+1=0，有且仅有一个实数根．故错误．
④由于

1-sin2x

=|sinx-cosx|，所以sinx≥cosx，当0≤x≤2π时，

π

4

≤x≤

5π

4

，故正确．
综上所述，②④
故答案为：②④

点评：本题考查命题的真假．用到的知识有，三角函数公式的应用，三角函数的性质．绝对值函数的对称性．属于中档题．