Question

17．求$\frac{12+1{6k}^{2}}{16{+k}^{4}+{8k}^{2}}$的最大值．

Answer 1

分析 化简得出m=$\frac{1}{{k}^{2}+4}$$+\frac{8}{（{k}^{2}+4）^{2}}$，换元t=$\frac{1}{{k}^{2}+4}$，t∈（0，$\frac{1}{4}$]，得出断m=t+8t²，t∈（0，$\frac{1}{4}$]，判断单调递增，即可求解最大值．

解答 解：m=$\frac{12+1{6k}^{2}}{16{+k}^{4}+{8k}^{2}}$=$\frac{12+{k}^{2}}{（{k}^{2}+4）^{2}}$=$\frac{1}{{k}^{2}+4}$$+\frac{8}{（{k}^{2}+4）^{2}}$
设t=$\frac{1}{{k}^{2}+4}$，t∈（0，$\frac{1}{4}$]，
∵m=t+8t²，t∈（0，$\frac{1}{4}$]，
∴根据函数的对称轴t=$-\frac{1}{16}$，
判断m=t+8t²，t∈（0，$\frac{1}{4}$]，单调递增，
∴最大值为：当t=$\frac{1}{4}$时，m_大=$\frac{1}{4}$$+\frac{8}{16}$=$\frac{3}{4}$
故$\frac{12+1{6k}^{2}}{16{+k}^{4}+{8k}^{2}}$的最大值为$\frac{3}{4}$．此时k=0

点评 本题考查了运用函数的单调性，换元法求解函数的最大值，关键是恒等变形，构造函数，难度较大，属于中档题．