Question

已知直线y=kx+m与抛物线y²=2x交于A，B两点，且|O

A

+O

B

|=|O

A

-O

B

|（其中O为坐标原点），若OM⊥AB于M，则点M的轨迹方程为（　　）

A．x²+y²=2

B．（x-1）²+y²=1

C．x²+（y-1）²=1

D．（x-1）²+y²=4

Answer 1

分析：根据向量数量积的运算性质，算出O

A

•O

B

=0，可得OA⊥OB．由此设抛物线上A、B两点的坐标，根据直线方程的两点式化简，得到直线AB经过定点C（2，0）．因此满足OM⊥AB的点M在以OC为直径的圆上，结合圆方程的求法即可算出本题答案．

解答：解：∵|O

A

+O

B

|=|O

A

-O

B

|
∴两边平方，整理得O

A

•O

B

=0，可得OA⊥OB
设A（

1

2

t2，t），可得B（

8

t2

，-

4

t

）
∴直线AB的方程为

y-t

- 4 t -t

=

x- 1 2 t2

8 t2 - 1 2 t2

，
令y=0，得x=2，因此直线AB经过定点C（2，0）
∵OM⊥AB于M，
∴M的轨迹是以OC为直径的圆，圆心为（1，0），半径r=1
此圆的方程为（x-1）²+y²=1，即为所求的轨迹方程
故选：B

点评：本题在抛物线中求动点M的轨迹方程，着重考查了抛物线的几何性质、圆的标准方程和动点轨迹方程的求法等知识，属于中档题．