Question

已知函数f（x）=（a∈R），
（Ⅰ）若函数f（x）在（1，+∞）为增函数，求a的取值范围；
（Ⅱ）讨论方程f（x）=0解的个数，并说明理由．

Answer 1

解：（I）若函数f（x）在（1，+∞）上恒成立．则f′（x）=x-≥0在（1，+∞）上恒成立，
即：a≤x²在（1，+∞）上恒成立．所以有a≤1．
（II）当a=0时，f（x）在定义域（0，+∞）上恒大于0，此时方程无解；
当a＜0时，f′（x）=x-＞0在（0，+∞）上恒成立，所以f（x）在定义域（0，+∞）上为增函数．
∵f（1）=＞0，f（）=，所以方程有惟一解．
当a＞0时，f′（x）=x-=
因为当x时，f′（x）＞0，f（x）在内为减函数；
当x时，f（x）在内为增函数．
所以当x=时，有极小值即为最小值f（）=．
当a∈（0，e）时，f（）=＞0，此方程无解；
当a=e时，f（）==0此方程有惟一解x=．
当a∈（e，+∞）时，f（）=＜0
因为f（1）=＞0且1，所以方程f（x）=0在区间（0，）上有惟一解，
因为当x＞1时，（x-lnx）′＞0，所以x-lnx＞1，
所以x＞lnx，f（x）=＞，
因为2a＞＞1，所以f（x）=0，
所以方程f（x）=0在区间（，+∞）上有惟一解．所以方程f（x）=0在区间（e，+∞）上有两解．
综上所述：当a∈[0，e）时，方程无解；当a＜0或a=e时，方程有惟一解；
当a＞e时方程有两解．
分析：（I）根据函数f（x）在（1，+∞）为增函数，我们易得F′（x）≥0在（1，+∞）上恒成立，进而将问题转化为一个函数恒成立问题，进而求出a的取值范围；
（Ⅱ）对a进行分类讨论：当a=0时，当a＜0时，当a＞0时．把a代入f（x）中确定出f（x）的解析式，然后根据f（x）的解析式求出f（x）的导函数，分别令导函数大于0和小于0得到函数的单调区间，根据函数的增减性得到f（x）的最小值，根据最小值小于0得到函数没有零点即零点个数为0．
点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及利用导数研究函数的单调性，同时考查分类讨论的思想，计算能力，属于难题题．此类题解答的关键是学生会根据导函数的正负得到函数的单调区间，会根据函数的增减性得到函数的最值，掌握函数零点的判断方法，是一道综合题．