Question

有时可用函数f（x）=

0.1+15ln a a-x x≤6 x-4.4 x-4 x＞6

，描述学习某学科知识的掌握程度．其中x表示某学科知识的学习次数（x∈N^*），f（x）表示对该学科知识的掌握程度，正实数a与学科知识有关．
（1）证明：当x≥7时，掌握程度的增长量f（x+1）-f（x）总是下降；
（2）根据经验，学科甲、乙、丙对应的a的取值区间分别为（115，121]，（121，127]，（127，133]．当学习某学科知识6次时，掌握程度是85%，请确定相应的学科．

Answer 1

分析：（1）x≥7时，作差求出增长量f（x+1）-f（x），研究其单调性知，差是一个减函数，故掌握程度的增长量总是下降、
（2）学习某学科知识6次时，掌握程度是85%，故得方程0.1+15ln

a

a-6

=0.85由此方程解出a的值即可确定相应的学科．

解答：证明：（1）当x≥7时，f(x+1)-f(x)=

0.4

(x-3)(x-4)

而当x≥7时，函数y=（x-3）（x-4）单调递增，且（x-3）（x-4）＞0
故函数f（x+1）-f（x）单调递减
当x≥7时，掌握程度的增长量f（x+1）-f（x）总是下降
（2）由题意可知0.1+15ln

a

a-6

=0.85
整理得

a

a-6

=e0.05
解得a=

e0.05

e0.05-1

•6=20.50×6=123，123∈(121，127]（13分）
由此可知，该学科是乙学科..（14分）

点评：本题是分段函数在实际问题中的应用，在实际问题中，分段函数是一个很重要的函数模型．