Question

设{a_n}，{b_n}是两个数列，M（1，2），A_n(2，an)，Bn(

n-1

n

，

2

n

)为直角坐标平面上的点．对n∈N^*，若三点M，A_n，B共线，
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}满足：log2cn=

a1b1+a2b2+…+anbn

a1+a2+…+an

，其中{c_n}是第三项为8，公比为4的等比数列．求证：点列P₁（1，b₁），P₂（2，b₂），…P_n（n，b_n）在同一条直线上；
（3）记数列{a_n}、{b_n}的前m项和分别为A_m和B_m，对任意自然数n，是否总存在与n相关的自然数m，使得a_nB_m=b_nA_m？若存在，求出m与n的关系，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由题意知

an-2

2-1

=

2 n -2

n-1 n -1

，由此可得a_n=2+2（n-1），所以数列{a_n}的通项公式为a_n=2n．
（2）由题意得cn=2

a1b1+a2b2++anbn

a1+a2++an

，∴22n-3=2

a1b1+a2b2++anbn

a1+a2++an

，由此可推导出b_n=3n-4．从而推导出点列P₁（1，b₁），P₂（2，b₂），P_n（n，b_n）在同一条直线上．
（3）由题设条件可知anBm-bnAm=2n(

3

2

m2-

5

2

m)-(3n-4)(m2+m)=4m（m+1-2n），所以对任意自然数n，当m=2n-1时，总有a_nB_m=b_nA_m成立．

解答：解：（1）因三点M，A_n，B_n共线，
∴

an-2

2-1

=

2 n -2

n-1 n -1

（2分）
得a_n=2+2（n-1）故数列{a_n}的通项公式为a_n=2n（4分）
（2）由题意c_n=8•4^n-3=2^2n-3，a1+a2++an=

n(2+2n)

2

=n(n+1)
由题意得cn=2

a1b1+a2b2++anbn

a1+a2++an

，∴22n-3=2

a1b1+a2b2++anbn

a1+a2++an

（6分）
∴2n-3=

a1b1+a2b2++anbn

a1+a2++an

，
∴a₁b₁+a₂b₂+a_nb_n=n（n+1）（2n-3）
当n≥2时，a_nb_n=n（n+1）（2n-3）-（n-1）n（2n-5）=n（6n-8）（8分）
∵a_n=2n
∴b_n=3n-4．
当n=1时，b₁=-1，也适合上式，
∴b_n=3n-4（n∈N^*）（10分）
因为两点P₁、P_n的斜率K=

bn-b1

n-1

=

(n-1)•3

n-1

=3（n∈N^*）为常数
所以点列P₁（1，b₁），P₂（2，b₂），P_n（n，b_n）在同一条直线上．（12分）
（3）由a_n=2n得Am=2m+

m(m-1)

2

×2=m2+m；
b_n=3n-4得Bm=-m+

m(m-1)

2

×3=

3

2

m2-

5

2

m（14分）
若a_nB_m=b_nA_m，
则anBm-bnAm=2n(

3

2

m2-

5

2

m)-(3n-4)(m2+m)=4m（m+1-2n）
∵m≥1
∴m=2n-1
∴对任意自然数n，当m=2n-1时，总有a_nB_m=b_nA_m成立．（16分）

点评：本题考查数列性质的综合应用，解题时要认真审题，仔细解答．