设数列{an}是首项为1，公差为2的等差数列，对每一个k∈N*，在ak与ak+1之间插入2k-1个2，得到新数列{bn}，设An、Bn分别是数列{an}和{bn}的前n项和．
（1）a10是数列{bn}的第几项；
（2）是否存在正整数m，使Bm=2010？若不存在，请说明理由；否则，求出m的值；
（3）设am是数列{bn}的第f（m）项，试比较：Bf（m）与2Am的大小，请详细论证你的结论．
分析：（1）因为在数列{bn}中，对每一个K∈N*，在ak与ak+1之间有2k-1个2，所以a10在数列{bn}中的项数为：10+1+2+4+…+28 故问题得解；
（2）先根据条件求出am及其前面所有项之和的表达式2n+n2-2，再根据210+102-2=1122＜2010＜211+112-2，即可找到满足条件的m的值；
（3）由（2）知Bf（m）=2m+m2-2又Am=1+3+5+…+（2m-1）=m2，要比较Bf（m）与2Am的大小，作差，再进行讨论即可．
解答：解：（1）在数列{b
n}中，对每一个K∈N
*，
在a
k与a
k+1之间有2
k-1个2，∴a
10在数列{b
n}中的项数为：10+1+2+4+…+2
8 …（2分）
=
10+=521即a10是数列{bn}中第521项 …（3分）
（2）a
n=1+（n-1）•2=2n-1，在数列{b
n}中，a
n及其前面所有项的和为：[1+3+5+…+（2n-1）]+（2+4+…+2
n-1）=
n2+=2n+n2-2…（5分）
∵2
10+10
2-2=1122＜2010＜2
11+11
2-2
且2010-1122=888=444×2
∴存在m=521+444=965，使得B
m=2010…（8分）
（3）由（2）知B
f（m）=2
m+m
2-2又A
m=1+3+5+…+（2m-1）=m
2∴B
f（m）-2A
m=（2
m+m
2-2）-2m
2=2
m-（m
2+2）…（10分）
当m=1时，2
m=2，m
2+2=3，故2
m＜m
2+2；
当m=2时，2
m=4，m
2+2=6，故2
m＜m
2+2；
当m=3时，2
m=8，m
2+2=11，故2
m＜m
2+2；
当m=4时，2
m=16，m
2+2=18，故2
m＜m
2+2； …（12分）
当
m≥5时，2m=1+++…+++1≥2(1+m+)因而当m=1，2，3，4时，B
f（m）＜2A
m；
当m≥5时且m∈N
*时，B
f（m）＞2A
m…（14分）
点评：本题综合考查了数列与函数的知识．解决第（2）问的关键在于求出am及其前面所有项之和的表达式，有一定的难度．
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