Question

设数列{a_n}是首项为0的递增数列，fn(x)=|sin

1

n

(x-an)|，x∈[an，an+1](n∈N*)，满足：对于任意的b∈[0，1），f_n（x）=b总有两个不同的根，则{a_n}的通项公式为

an=

n(n-1)

2

π

．

Answer 1

分析：根据条件确定a_n+1-a_n=nπ，利用叠加可求得{a_n}的通项公式．

解答：解：∵a₁=0，当n=1时，f₁（x）=|sin（x-a₁）|=|sinx|，x∈[0，a₂]，
又∵对任意的b∈[0，1），f₁（x）=b总有两个不同的根，∴a₂=π
∴f₁（x）=sinx，x∈[0，π]，a₂=π
又f₂（x）=|sin

1

2

（x-a₂）|=|sin

1

2

（x-π）|=|cos

x

2

|，x∈[π，a₃]
∵对任意的b∈[0，1），f₁（x）=b总有两个不同的根，∴a₃=3π…（5分）       
 又f₃（x）=|sin

1

3

（x-a₃）|=|sin

1

3

（x-3π）|=|sin

1

3

π|，x∈[3π，a₄]
∵对任意的b∈[0，1），f₁（x）=b总有两个不同的根，∴a₄=6π…（6分）
由此可得a_n+1-a_n=nπ，
∴a_n=a₁+（a₂-a₁）+…+（a_n-a_n-1）=0+π+…+（n-1）π=

n(n-1)

2

π
∴an=

n(n-1)

2

π
故答案为：an=

n(n-1)

2

π

点评：本题考查数列与三角函数的结合，考查学生分析解决问题的能力，具有一定的综合性，属于中档题．