Question

设数列{a_n}是首项为1公比为3的等比数列，把{a_n}中的每一项都减去2后，得到一个新数列{b_n}，{b_n}的前n项和为S_n，对任意的n∈N^*，下列结论正确的是（　　）

• A、b_n+1=3b_n，且S_n=

  1

  2

  （3ⁿ-1）
• B、b_n+1=3b_n-2，且S_n=

  1

  2

  （3ⁿ-1）
• C、b_n+1=3b_n+4，且S_n=

  1

  2

  （3ⁿ-1）-2n
• D、b_n+1=3b_n-4，且S_n=

  1

  2

  （3ⁿ-1）-2n

Answer 1

分析：由题意知a_n=3^n-1，b_n=3^n-1-2，b_n+1=3b_n+4．{b_n}的前n项和S_n=（1-2）+（3¹-2）+（3²-2）+（3³-2）++（3^n-1-2）=（1+3¹+3²+3³++3^n-1）-2n=

(1-3n)

1-3

-2n=

1

2

（3ⁿ-1）-2n．

解答：解：因为数列{a_n}是首项为1公比为3的等比数列，所以数列{a_n}的通项公式
a_n=3^n-1，则依题意得，数列{b_n}的通项公式为b_n=3^n-1-2，∴b_n+1=3ⁿ-2，3b_n=3（3^n-1-2）=3ⁿ-6，
∴b_n+1=3b_n+4．{b_n}的前n项和为：
S_n=（1-2）+（3¹-2）+（3²-2）+（3³-2）++（3^n-1-2）=（1+3¹+3²+3³++3^n-1）-2n=

(1-3n)

1-3

-2n
=

1

2

（3ⁿ-1）-2n．
故选C．

点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要注意公式的灵活运用．