Question

【题目】已知α为锐角，且 ，函数 ，数列{an}的首项a1=1，an+1=f（an）．
（1）求函数f（x）的表达式；
（2）求证：数列{an+1}为等比数列；
（3）求数列{an}的前n项和Sn ．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵

又∵α为锐角

∴α=

∴

∴f（x）=2x+1

（2）证明：∵an+1=2an+1，∴an+1+1=2（an+1）

∵a1=1

∴数列{an+1}是以2为首项，2为公比的等比数列

（3）解：由上步可得an+1=2n，∴an=2n﹣1

∴

【解析】（1）由 ，将 代入可求解，由α为锐角，得α= ，从而计算得 进而求得函数表达式．（2）由an+1=2an+1，变形得an+1+1=2（an+1），由等比数列的定义可知数列{an+1}是以2为首项，2为公比的等比数列．（3）由（2）得an=2n﹣1，转化为一个等比数列与一个等差数列的和的形式，可计算得 ．