Question

【题目】如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，棱AD=DC=3，DD1=4，E是A1A的中点．
（1）求证：A1C∥平面BED；
（2）求二面角E﹣BD﹣A的正切值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：如图建立空间直角坐标系，取BD的中点O，连接EO．

A1（0，0，4），C（3，3，0），E（0，0，2），O（ ， ，0）

=（3，3，﹣4）， =（ ， ，﹣2），

∴ =2 ，∴A1C∥EO．

∵EO平面BED，A1C平面BED，

∴A1C∥平面BED

（2）解：由于AE⊥平面ABCD，

则 =（0，0，2）就是平面ABCD的法向量．

B（3，0，0），D（0，3，0），

=（﹣3，0，2）， =（﹣3，3，0），

设平面EBD的法向量为 =（x，y，z）．

得

令z=3，则 =（2，2，3）．

cos = ，

∴二面角E﹣BD﹣A的正切值为 ．

【解析】（1）建立空间直角坐标系，先求得相关点的坐标，从而得到 =（3，3，﹣4）， =（ ， ，﹣2），然后由共线向量定理证明即可．（2）分别求得二个半平面的一个法向量即可，由于AE⊥平面ABCD，则 =（0，0，2）就是平面ABCD的法向量．B（3，0，0），D（0，3，0），再求得平面EBD的一个法向量为，用向量的夹角公式求解．
【考点精析】认真审题，首先需要了解直线与平面平行的判定(平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行)．