Question

（19）如图，已知平行六面体ABCD—A₁B₁C₁D₁的底面ABCD上菱形，且∠C₁CB=∠C₁CD=∠BCD，

 

 （Ⅰ）证明：C₁C⊥BD；

 

（Ⅱ）当的值为多少时，能使A₁C⊥平面C₁BD？请给出证明。

Answer 1

（19）本小题主要考查直线与直线、直线与平面的关系，逻辑推理能力。

（Ⅰ）证明：连结、和交于，连结。

∵四边形ABCD是菱形，

∴⊥，=。

又∵∠=∠，=，

∴，

∴B=D，

∵

∴，                                                 

但，

∴平面。

又平面，

∴。                              

 

（Ⅱ）当时，能使平面。

证明一：

∵，

∴，又，

由此可推得。

∴三棱锥是正三棱锥。                         

设与相交于。

∵，且：：1，

∴：=2：1。

又是正三角形的边上的高和中线，

∴点是正三角形的中心，

∴平面，

即平面。                           

 

证明：

由（Ⅰ）知，平面，

∵平面，∴。                    

当时，平行六面体的六个面是全等的菱形，

同的正法可得。

又，

∴平面。