Question

如图，已知平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面为正方形，O₁，O分别为上、下底面中心，且A₁在底面ABCD上的射影为O．
（1）求证：平面O₁DC⊥平面ABCD；
（2）若点E、F分别在棱AA₁、BC上，且AE=2EA₁，问F在何处时，EF⊥AD？
（3）若∠A₁AB=60°，求二面角C-AA₁-B的正切值．

Answer 1

分析：（1）由平行六面体底面为正方形，知A₁A∥CC₁，A₁C₁∥AC，由O₁，O分别为上下底面中心，知A₁O₁∥CO，CO₁∥A₁O．再由A₁在底面ABCD射影为O，能够证明平面O₁DC⊥平面ABCD．
（2）过E作AC垂线，垂足为G，则EG∥A₁O，故EG⊥平面AC，由此能够推导出F为BC的三等分点，靠近B时，EF⊥AD．
（3）由BO⊥AO，BO⊥A1O，AO∩A1O=O，知BO⊥面CA₁，过O作OM⊥AA₁于M，连接BM，则AA₁⊥BM，∠BMO是二面角C-AA₁-B的平面角，由此能求出二面角C-AA₁-B的正切值．

解答：解：（1）∵平行六面体底面为正方形，
∴A₁A∥CC₁，∴A₁C₁∥AC，
又O₁，O分别为上下底面中心，∴A₁O₁∥CO，∴CO₁∥A₁O．
∵A₁在底面ABCD射影为O，∴A₁O⊥平面AC，CO₁⊥平面AC，
又CO₁?平面O₁DC，
∴平面O₁DC⊥平面ABCD．
（2）过E作AC垂线，垂足为G，则EG∥A₁O，
∴EG⊥平面AC，
若要EF⊥AD，即EF⊥BC，则需GF⊥BC，
∵底面ABCD图形为正方形，∴FG∥AB，
由A1E=

1

2

AE，则OG=

1

2

AG，
∴

GF

AB

=

CF

CB

=

CG

CA

=

4

6

=

2

3

，
∴F为BC的三等分点，靠近B时，EF⊥AD．
（3）∵BO⊥AO，BO⊥A1O，AO∩A1O=O，
∴BO⊥面CA₁，过O作OM⊥AA₁于M，
连接BM，则AA₁⊥BM，∠BMO是二面角C-AA₁-B的平面角
由A₁O⊥面AC，AO=BO得A1A=A1B，∠A1AB=60O，
∴△A₁AB为正三角形，
设AB=a，A1A=a，则AO=BO=

1

2

a，
∴A1O=

1

2

a，OM=

AA1

2

=

a

2

，
在Rt△BOM中，tan∠BMO=

BO

OM

=

2

，
所以所求的二面角的正切值为

2

．

点评：本题考查平面垂直的证明，考查满足条件的点的求法，考查二面角的正切值的求法．解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用．