Question

【题目】定义在上的函数，如果满足：对任意，存在常数，都有成立，则称是上的有界函数，其中称为函数的上界．

（）判断函数， 是否是有界函数，请写出详细判断过程．

（）试证明：设， ，若， 在上分别以， 为上界，求证：函数在上以为上界．

（）若函数在上是以为上界的有界函数，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）.

【解析】试题分析：（1），当时，

则，由有界函数定义可知是有界函数

(2)由题意知对任意，存在常数，都有成立

即，同理（常数）

则，即

在上以为上界

(3)由题意知， 在上恒成立。

，

∴在上恒成立

∴

设， ， ，由 得 t≥1，

设， ，

所以在上递减，在上递增，（单调性不证，不扣分）

在上的最大值为，

在上的最小值为。

所以实数的取值范围为