Question

【题目】如图，正三棱柱ABCA1B1C1中，AB＝2，AA1＝3，

D为C1B的中点，P为AB边上的动点.

(1)当点P为AB的中点时，证明DP∥平面ACC1A1；

(2)若AP＝3PB，求三棱锥BCDP的体积.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】试题分析：（1）连结DP，AC1，推导出DP∥AC1，由此能证明DP∥平面ACClAl. (2)过点D作DE⊥BC于E，则DE平行且等于CC1，∵CC1⊥平面ABC，∴DE⊥平面BCP，根据等体积转化VB-CDP＝VD-BCP＝·S△BCP·DE.即得解

试题解析：

(1)连结DP，AC1，∵P为AB中点，D为C1B中点，∴DP∥AC1.又∵AC1平面ACC1A1，DP平面ACC1A1，∴DP∥平面ACC1A1。

(2)由AP＝3PB，得PB＝AB＝.过点D作DE⊥BC于E，

则DE平行且等于CC1，∵CC1⊥平面ABC，∴DE⊥平面BCP，

又∵CC1＝3，∴DE＝.

∴VB-CDP＝VD-BCP＝·S△BCP·DE＝××2××sin60°×＝