Question

【题目】已知数列{an}，{bn}满足a1=2，b1=4，且 2bn=an+an+1 ， an+12=bnbn+1 ．
（Ⅰ）求 a 2 ， a3 ， a4及b2 ， b3 ， b4；
（Ⅱ）猜想{an}，{bn}的通项公式，并证明你的结论；
（Ⅲ）证明：对所有的 n∈N* ， … ＜ ＜ sin ．

Answer 1

【答案】解：（I）令n=1得 ，解得 ，

令n=2得 ，解得 ，

令n=3得 ，解得 ．

（II）猜想：an=n（n+1），bn=（n+1）2．

证明：当n=1时，猜想显然成立，

假设n=k（k≥1）猜想成立，即ak=k（k+1），bk=（k+1）2，

∵2bk=ak+ak+1，∴ak+1=2bk﹣ak=2（k+1）2﹣k（k+1）=（k+1）（k+2），

∵ak+12=bkbk+1，∴bk+1= =（k+2）2，

∴当n=k+1时，猜想成立，

∴an=n（n+1），bn=（n+1）2，n∈N+．

（III）证明：由（II）可知 = ，

于是原不等式等价于 … ＜ ＜ sin ，

（i）先证 … ＜ ，

∵4n2﹣1＜4n2，∴（2n+1）（2n﹣1）＜4n2，

∴（2n﹣1）2（2n+1）＜4n2（2n﹣1），

即（ ）2＜ ，即 ＜ ，

∴ … ＜ … = ，

（ii）再证 ＜ sin ．

令 =x，则0＜x≤ ＜ ，

设f（x）=x﹣ sinx，则f′（x）=1﹣ cosx＜0，

∴f（x）在（0， ）上单调递减，

∴f（x）＜f（0）=0，即x sinx，

∴ ＜ sin ．

综上，对所有的 n∈N*， … ＜ ＜ sin

【解析】（I）依次把n=1，2，3代入递推式即可求出{an}，{bn}的前4项；（II）利用数学归纳法证明猜想；（III）利用放缩法证明不等式左边，利用函数单调性证明不等式右边．
【考点精析】解答此题的关键在于理解归纳推理的相关知识，掌握根据一类事物的部分对象具有某种性质,退出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理,叫做归纳推理．