Question

【题目】如图四棱锥E﹣ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，△BCE为等边三角形，△ABE是以∠A为直角的等腰直角三角形，且AC=BC． （Ⅰ）证明：平面ABE⊥平面BCE；
（Ⅱ）求二面角A﹣DE﹣C的余弦值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）证明：设O为BE的中点，连接AO与CO， 则AO⊥BE，CO⊥BE．
设AC=BC=2，则AO=1， ，AO2+CO2=AC2 ，
∠AOC=90°，所以AO⊥CO，
故平面ABE⊥平面BCE．

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知AO，BE，CO两两互相垂直．OE的方向为x轴正方向，OE为单位长，
以O为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系O﹣xyz，
则A（0，0，1），E（1，0，0）， ，B（﹣1，0，0）， ，
所以 ， ， ，
， ，
设 =（x，y，z）是平面ADE的法向量，则 ，即 所以 ，
设 是平面DEC的法向量，则 ，同理可取 ，
则 = ，所以二面角A﹣DE﹣C的余弦值为 ．
【解析】（Ⅰ）设O为BE的中点，连接AO与CO，说明AO⊥BE，CO⊥BE．证明AO⊥CO，然后证明平面ABE⊥平面BCE．（Ⅱ）以O为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系O﹣xyz，求出相关点的坐标，平面ADE的法向量，平面DEC的法向量，利用向量的数量积求解二面角A﹣DE﹣C的余弦值．