Question

已知函数f（x）=sin（x-

π

3

）+

3

cos（x-

π

3

）．
（Ⅰ）求函数y=f（x）-1的单调递增区间；
（Ⅱ）设函数g（x）=（1+sinx）f（x），求g（x）的值域．

Answer 1

（Ⅰ）函数f（x）=sin（x-

π

3

）+

3

cos（x-

π

3

）=2sin[x-

π

3

）+

π

3

]=2sinx，…（3分）
∵y=sinx的单调增区间为[2kπ-

π

2

2kπ+

π

2

]，k∈z，
∴y=f（x）-1的单调增区间是[2kπ-

π

2

，2kπ+

π

2

]k∈Z．…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，函数g（x）=（1+sinx）f（x）=2sin²x+2sinx．…（7分）
设 t=sinx，当x∈R时，t∈[-1，1]，则h（t）=2t²+2t=2(t+

1

2

)2-

1

2

．…（9分）
由二次函数的单调性可知，h（t）的最小值为 h（-

1

2

）=-

1

2

，最大值为h（1）=4，…（11分）
则函数h（t）的值域为[-

1

2

，4]，故g（x）的值域为[-

1

2

，4]．…（12分）