Question

已知数列{a_n}满足a1=

1

4

，2an+an-1=(-1)nan•an-1(n≥2，n∈N*)，an≠0．
（1）求证：数列{

1

an

+(-1)n}是等比数列，并求{a_n}的通项公式；
（2）设bn=an•sin

(2n-1)π

2

，数列{b_n}的前n项和为T_n，求证：对任意的n∈N*，有Tn＜

2

3

成立．

Answer 1

分析：（1）根据等比数列的定义，要证明数列{

1

an

+(-1)n}是等比数列，只需证明[

1

an

+(-1)n]：[

1

an-1

+(-1)n-1]=常数，将题设中给出的递推式变形整理即可．
（2）利用sin

(2n-1)π

2

=(-1)n-1，结合（1）中的结论，表示出bn，进而写出T_n，再利用放缩法求解即可．

解答：解：（1）由2a_n+a_n-1=（-1）ⁿa_n•a_n-1
得

1

an

=(-1)n-

2

an-1

(n≥2，n∈N*)
∴

1

an

+(-1)n=(-2)•[

1

an-1

+(-1)n-1]
又∵

1

a1

+(-1)=3
∴数列[

1

an

+(-1)n]是首项为3，公比为-2的等比数列，
从而

1

an

+(-1)n=3(-2)n-1
即an=

1

3(-2)n-1-(-1)n

；
（2）∵sin

(2n-1)π

2

=(-1)n-1
∴bn=

(-1)n-1

3•(-2)n-1-(-1)n

=

1

3•2n-1+1

则Tn=

1

3+1

+

1

3×2+1

+…+

1

3×2n-1+1

＜

1

3

+

1

3×2

+

1

3×22

+

1

3•23

+…+

1

3•2n-1

=

1

3

(1+

1

2

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

)
=

1

3

×

1- 1 2n

1- 1 2

=

2

3

×(1-

1

2n

)＜

2

3

．

点评：（1）本题紧扣等比数列的定义而解，注意对已知递推式的变形；
（2）主要考查了数列知识和解不等式的综合运用，注意放缩法的使用．