Question

已知函数f（x）=log_a（a^x-1）（a＞0，且a≠1）
（1）证明函数f（x）的图象在y轴的一侧
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y  2）（x₁＜x₂）图象上两点，证明直线AB的斜率大于0．

Answer 1

考点：函数与方程的综合运用

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由a^x-1＞0得：a^x＞1，a＞1时，函数f（x）的图象在y轴的右侧；当0＜a＜1时，x＜0，函数f（x）的图象在y轴的左侧．所以函数f（x）的图象在y轴的一侧．
（2）由于x₁＜x₂，则直线AB的斜率k=

y1-y2

x1-x2

，y₁-y₂=loga(ax1-1)-loga(ax2-1)=loga

ax1-1

ax2-1

，再分a＞1和0＜a＜1两种情况分别进行讨论．

解答： 证明：（1）由a^x-1＞0得：a^x＞1，
当a＞1时，x＞0，即函数f（x）的定义域为（0，+∞），
此时函数f（x）的图象在y轴的右侧；
当0＜a＜1时，x＜0，即函数f（x）的定义域为（-∞，0），
此时函数f（x）的图象在y轴的左侧．
所以函数f（x）的图象在y轴的一侧；
（2）由已知，直线AB的斜率k=

y1-y2

x1-x2

，
y₁-y₂=loga(ax1-1)-loga(ax2-1)=loga

ax1-1

ax2-1

，
下面分a＞1和0＜a＜1两种情况分别进行讨论：
①当a＞1时，由（1）知0＜x₁＜x₂，
∴1＜ax1＜ax2，
∴0＜ax1-1＜ax2-1，
∴0＜

ax1-1

ax2-1

＜1，
∴y₁-y₂＜0，
又x₁-x₂＜0，
从而斜率k＞0；
②当0＜a＜1时，由（1）知x₁＜x₂＜0，
∴ax1＞ax2＞1，
∴ax1-1＞ax2-1＞0，
∴

ax1-1

ax2-1

＞1，
∴y₁-y₂＜0，
又x₁-x₂＜0，
从而斜率k＞0．
所以函数f（x）图象上任意两点连线的斜率都大于0．

点评：本题考查对数函数的性质和综合应用，解题时注意分类讨论思想的合理应用．