已知椭圆:=1(a>b>0)与双曲线有公共焦点,且离心率为. 分别是椭圆的左、右顶点. 点是椭圆上位于轴上方的动点.直线分别与直线:交于两点.
(I)求椭圆的方程;
(II)当线段的长度最小时,在椭圆上是否存在点,使得的面积为?若存在,求出的坐标,若不存在,请说明理由.
解:(I)由已知得椭圆的焦点为,
,又 ,,椭圆的方程为. ……..(4分)
(II)直线的斜率显然存在,且,故可设直线的方程为,从而 ……..(5分)
由得0
设则得从而
即所以
得 ……. ……..(7分)
故又
当且仅当,即时等号成立
时,线段的长度取最小值. ……..(9分)
此时的方程为
要使椭圆上存在点,使得的面积等于,只须到直线的距离等于,所以在平行于且与距离等于的直线上.设直线
则由解得或
①当时由得,由于故直线与椭圆没有交点.
②当时,由,得
由于,故直线与椭圆有两个不同的交点或;
综上所述,当线段的长度最小时,在椭圆上仅存在两个不同的点或,使得的面积为. ……………..(12分)
【解析】略
科目:高中数学 来源:2010-2011学年湖北省天门市高三模拟考试(一)文科数学 题型:选择题
已知椭圆+=1(a>b>0)与双曲线-=1有相同的焦点,则椭圆的离心率为
A. B. C. D.
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科目:高中数学 来源:2013届湖南省华容县高二第一学期期末考试理科数学试卷 题型:解答题
(本小题满分13分)已知椭圆+=1(a>b>0)上的点M(1, )到它的两焦点F1,F2的距离之和为4,A、B分别是它的左顶点和上顶点。
(1)求此椭圆的方程及离心率;
(2)平行于AB的直线l与椭圆相交于P、Q两点,求|PQ|的最大值及此时直线l的方程。
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